Probabilités conditionnelles

Probabilités - Mathématiques Complémentaire

Exercice 1 : Probabilité conditionnelle en situation concrète avec un tableau rempli, questions en langage mathématique

Dans un collège de 1000 élèves, on a constaté que :
  • - 38% font du football
  • - 45% font du judo et, parmi eux, 20% font aussi du football
On note :
  • - S1 : l’événement « l'élève fait du judo »
  • - S2 : l’événement « l'élève fait du football »
On donnera les informations sous forme d'un tableau :
Pratique le judoNe pratique pas le judoTotal
Pratique le football\(90\)\(290\)\(380\)
Ne pratique pas le football\(360\)\(260\)\(620\)
Total\(450\)\(550\)\(1000\)

 
Indiquer la probabilité \(P_{}(S1) \).
Indiquer la probabilité \( P_{S1}(S2) \).
Indiquer la probabilité \( P(S1 \cap S2) \).
Indiquer la probabilité \( P(S1 \cup S2) \).
Indiquer la probabilité \( P(\overline{S1}) \).

Exercice 2 : Complétion d'arbre - remplir probas conditionnelles

Un laboratoire de recherche met au point un test de dépistage d'une maladie chez une espèce animale. Le pourcentage d'animaux malades dans la population est connu.
On note \(M\) l'événement « l'animal est malade » et \(T\) l'événement « le test est positif ».

Compléter l'arbre de probabilité correspondant à la situation.
On arrondira les résultats à \(10^{-4}\).
{"M": {"T": {"intersection": "0,2016", "value": " "}, "\\overline{T}": {"intersection": "0,0084", "value": " "}, "value": "0,21"}, "\\overline{M}": {"T": {"intersection": "0,158", "value": " "}, "\\overline{T}": {"intersection": "0,632", "value": " "}, "value": "0,79"}}

Exercice 3 : Calcul de probabilités conditionnelles à partir d'un tableau à double entrée

Soit le tableau d'effectifs suivant :
{"header_top": ["\\(A\\)", "\\(\\overline{A}\\)", "Total"], "header_left": ["\\(B\\)", "\\(\\overline{B}\\)", "Total"], "data": [[25, 23, "?"], [18, "?", 46], ["?", 51, "?"]]}
Calculer la probabilité \(P_{B} (A)\).
On donnera le résultat sous la forme d'une fraction.

Exercice 4 : Lecture d'énoncé - test médical

Un laboratoire de recherche met au point un test de dépistage d'une maladie chez une espèce animale et fournit les renseignements suivants : « la population testée comporte \(19\%\) d'animaux malades.
Si un animal est malade, le test est positif dans \(95\%\) des cas ; si un animal n'est pas malade, le test est négatif dans \(91\%\) des cas ».
On note \(M\) l'événement « l'animal est malade », et \(T\) l'événement « le test est positif ».
Déterminer \( P\left(M\right) \)
Déterminer \( P_M\left(T\right) \)
Déterminer \( P_\overline{M}\left(T\right) \)

Exercice 5 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (3 branches)

Un magasin de vêtements a constitué un stock d'un certain type de pantalons venant de trois fabricants \( f_1 \), \( f_2 \) et \( f_3 \).
Certains de ces pantalons présentent un défaut.
30% du stock provient du fabricant \( f_1 \), 10% du stock provient du fabricant \( f_2 \) et le reste du stock provient du fabricant \( f_3 \).
La qualité de la production n'est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :
  • 8% des pantalons produits par le fabricant \( f_1 \) sont défectueux.
  • 7% des pantalons produits par le fabricant \( f_2 \) sont défectueux.
  • 4% des pantalons produits par le fabricant \( f_3 \) sont défectueux.
On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les événements suivants :
  • \( F_1 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_1 \) » ;
  • \( F_2 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_2 \) » ;
  • \( F_3 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_3 \) » ;
  • \( D \) : « le pantalon est défectueux ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(F_1) \).
Calculer la probabilité, notée \( p(q2) \), que le pantalon choisi ne soit pas défectueux sachant qu'il a été fabriqué par \( f_3 \) ?
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"F_1": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_2": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_3": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}}
Traduire mathématiquement l’événement « le pantalon choisi a été fabriqué par \( f_3 \) et n'est pas défectueux »
Calculer sa probabilité, notée \( p(événement) \).
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